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2007年12月 6日 (木)

分数の割り算その3

ずっと、「分数」の「割り算」で検索してたどり着かれた方が多いです。

もう一つは、「掛け算」「九九」ですね。

ということで、分数の割り算その3をちょっと書いてみます。

分数の割り算

分数の割り算その2

その1でやったのは、

「通分して、単位分数をそろえてから、分子同士の割り算に変えて計算」

その2でやったのは、

「比の関係から、【1】に相当する数を求める計算」

で、今回のその3では、割り算の性質から計算してみましょう。

割り算は、

160÷20

といったものは、

割る数と割られる数両方を、同じ数で割ったり、同じ数を掛けたりしても答えが変わりません。

A÷B=A/Bなので、「約分」したり、「倍分」したりでいていることと同じですから。

なので、

(160÷10)÷(20÷10)=16÷2=8

とできるわけですね。

なので、分数の割り算も、

2/3÷5/4=(2/3×4/5)÷(5/4×4/5)=(2/3×4/5)÷1=2/3×4/5

となるので、

結果的に、割る数をひっくり返して掛け算していることになるわけです。

同じ考え方をすれば、

2/3÷5/4=(2/3×12)÷(5/4×12)=8÷15=8/15

という計算も正しいことがわかります。

というように、分数の割り算は、

「後ろをひっくり返して掛ける」から、計算できると言うことではなくて、

その意味から、計算方法などいくらでもあるよということです 。

上記のいろいろな計算方法を問う問題は、

国際算数数学検定協会の6級(6年~中1)で出された問題です。

これは、分数の割り算でしたが、割り算の性質と言う点に注目すれば、

7÷125=(7×8)÷(125×8)=56÷1000=0.056

といったことにも使えるわけです。

以前、陰山氏の掲示板で、

「分数の割り算の指導法」

について質問をしたことがあります。

ご本人から回答をカキコしていただけたわけですが、その回答は、

「ひっくり返して掛ける」の丸暗記で進める

というものでした。

さて、どっちの方が、よいのでしょうかね?

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コメント

現在の日本の教育方針は、初期段階で本質を隠蔽し、後に本質を教えると
いう傾向が見られる。本質は難解であるから、初期段階では隠蔽した方が
理解しやすいとの配慮であろうが、全くの見当違いである。

初期段階でゴマカシの理解を植えつけられてしまっては、後に本質を教え
ようとしても簡単には移行できないのである。初期段階から本質を教えた
ほうが、後々のためにも遥かに合理的である。

例えば割り算の本質は「分ける」ではなく「大きさを比べる」なのである。
分母を「1」としたとき、分子はいくらに当たるのか。「大きさを比べる」
が本質であり「分ける」というのは間違った考えなのである。「分ける」
という考えは分数・少数の出現により、即座に破綻する。
また何を「1」として大きさを比べているのかという本質も掴めなくなる。

「分ける」 では分数・少数の割り算は理解不能である。1.23/4.56で
1.23を4.56に「分ける」とはどういう事か。また通分とは何を「1」
として大きさを比べているのか、基準となる数を同じにすることである。
基準となる数が同じになっていなければ足し引き不可である。通分も「分ける」
では理解不能である。

また、数学で「割り切れない」と言いながら理科で「割り切れない」とすると
不正解になる。「分ける」という考えは百害あって一利なし、後々まで悪影響を
及ぼす、全くの「害算」である。割り算のイカサマこそ理数嫌いへの第一歩なの
である。あくまで「分ける」で押し通すのであれば、分数・少数は一切教えるべきではない。

割り算が最初に導入されたのは小学校2年次だと記憶しているが、それから小学校6年次で
ようやく「大きさを比べる」が導入される。しかしこれでは手遅れである。それまで散々
「分ける」という考えが浸透してしまっているため簡単には移行できないのである。やはり
小学校2年次の段階で最初から「大きさを比べる」とするべきである。

ところで、ジブリのアニメ映画「おもひでぽろぽろ」では主人公が割り算のイカサマに
悩む場面があり、大変印象的であった。最初から「大きさを比べる」とすればこんなこと
で悩まずに済んだはずであるが。

初期段階で本質を隠蔽することに何の意味がある。
初期段階から本質を教えてこそ真の教育の姿であると言える。

本質を追求する者さん、コメントありがとうございます。
ただ、コメントが、コピペなのが・・・
この記事のためのコメントでないのが残念です。

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