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« どうぶつしょうぎの駒落ち | トップページ | 学校での習字の時間(案) »

2009年6月19日 (金)

長くなったので、コメントをコピペ

積分定数さんからのコメントとそのコメント返し。

http://daiba-suuri.at.webry.info/
http://daiba-suuri.at.webry.info/200905/article_1.html

初めまして。突然失礼します。小学校算数の「かけ算の順序」について、色々調べています。

上記のブログにも書きましたが、「かける数・かけられる数」は、明瞭に区別できないと思います。

4人に3個ずつ蜜柑を配る。

3が4つ という解釈だけが正しくて、4が3つは間違いなのか?

4人に1個ずつ配る。2個目、3個目と配れば、4が3つ。

「1つ当たり」と「いくつ分」は視点の違いでしかない。

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■■■■
■■■■

かけ算をこのような抽象的イメージで捉えている子には、「かける数・かけられる数」の区別は全くナンセンスだと思います。

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積分定数さんコメントありがとうございます。
「かけ算をこのような抽象的イメージで捉えている子には」
捉えられている子には、確かに必要ないことかもしれません。
記事での取り扱いは、機械的に、出てきた数字のみしか見ることができなくなる恐れがあることです。
なので、掛け算を理解しているかどうかをチェックするフィルターとしてこの考え方をルール化することはアリだと思います。
もちろん、一人ひとりに確認を取っていけば一番確実ですが、時間や人的に難しいと思います。
-------------------------------

回答ありがとうございます。

http://daiba-suuri.at.webry.info/200906/article_1.html
に書きましたが、ここで示されたリンク先を見るとわかりますが、

 「かけ算の順序」が極めて奇妙な形で、教えられている現状があります。

 私も、「考える・わかる」を大切にしたいと思います。また、そのような主旨から「かけ算の順序を正しく」と指導している教員や塾の講師もいるかと思います。

 しかし、「とにかく順序さえ正しければいい」とか、甚だしきは、長方形の面積を横×縦にするとすると誤答にする例まであるようです。

 こうなってくると、「考える・わかる」とは逆にとにかく言われたとおりに答えを出すとなりかねません。

 かけ算を初めて導入した直後はともかくとして、順序を交換しても値が変わらないことが生徒にとって自明となった後も、小学校6年あたりまで順序にこだわる指導がなされると言うのを聞くと、

「何かがおかしい」と思えてきます。

「4人に3個ずつ蜜柑を配る」

これを、理解した上で、4×3とする生徒も、3×4とする生徒もいるかと思います。

理解していない生徒でも、4×3と、3×4両方がありうると思います。

 かけ算の順序を理解しているかどうかの判断材料とすることには無理があります。

 いちいち生徒に確認できないということであれば、3×4も、4×3も正解とすべきだと思います。

 かけ算は、その導入段階では、前の数字と後の数字が非対称となりますが、本質的に可換な二項演算である以上、一方のみを正解とする根拠はないと考えます。

 4×3 と 3×4 の違いを区別するというのは、

3+4 と 4+3 

÷2 と ×1/2

1/2 と 3/6

などを区別するのと等しいと思います。
もちろんこれらを区別する必要はないし、

抽象化した立場からは、「同じ」であり、むしろ「同じ」と見なすようになれなくてはいけないと思います。

以上、長々と失礼しました。

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積分定数さん、コメントありがとうございます。

かけ算の「順序を」理解しているかどうかの

順序の理解を確認するためではなくて、掛け算を理解しているかを確認するためのルールとしての利用法ですね。

1つの袋に3個みかんが入ってます。4袋あります。みかんは全部で何個ありますか?

袋が4袋あります。それぞれの袋には4個ずつみかんが入ってます。みかんは全部で何個ありますか?

このとき、まとまり(1あたりの量)を先に書くというルールを適用すれば、理解している子は、すべて、その順番にかけますが、数字しか見ていない子は、一貫性にかける状況になるでしょう。
適当に2つの数字を書いている場合とそうでない場合は、問題数を増やしたときの通過率で判断できると考えています。

そこで、1つフィルターを通せば、通過しなかった子に絞って聞いていくことができます。

理解しているが、可換なのでそう書いたとか、このように考えたので、こちらの数字が1あたりの量になると考えたとかの返事を聞けば、理解しているなと安心できますし、何となくとか、答えたら、まだ理解がされてないなと次の手を考えるとかできます。

割り算を習ったあとに、
昨日のクローズアップ現代で出てきた
赤いテープは210センチです。
赤いテープは白いテープの6倍の長さです。
白いテープは何センチでしょう?
の問題に、
210×6
としてしまったのを見てから、あれ?割り算も掛け算の意味もわかってないじゃんとなってしまうと、どんどん後手後手になってしまうと思うのです。

実際に、3年生以降の子(自分の見てきた範囲でしかないですが)で、1あたりの量を先に書くというルールでかける子のほとんどは算数を苦にしてないですし、順番がまちまちな子は、苦手な子が多いです。

1あたりの量を理解することができるだけの能力があれば、そちらを先に書くようにするというルールを追加しても十分対応できるでしょう。

「抽象化した立場からは」
2年生では、まだ無理だと思うので、こういう手法を使うメリットがあると思ってます。

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  >SZKさん

 丁寧な回答、ありがとうございます。私自身は小学生にかけ算を教える経験はないので、順序を指導することが、理解させるという観点からみて、有効だということをまで否定することは出来ません。

 教える側が、「意味をきちんと理解することだ大切」というその原則に沿って指導するのであれば、問題ないと思うのです。

>理解しているが、可換なのでそう書いたとか、このように考えたので、こちらの数字が1あたりの量になると考えたとかの返事を聞けば、理解しているなと安心できますし、何となくとか、答えたら、まだ理解がされてないなと次の手を考えるとかできます。

こういうことであれば全く問題ないと思います。私も、平方根を教えた直後に

√2√3=√6 と計算する生徒がいたら理由を聞きます。テキトーにやった可能性はありますから。でも、その子が自分で公式に気づいた可能性もあるので、聞かなくてはわかりません。

 私が懸念するのは、特に小学校の算数指導の現場が、「考え方なんかどうでもよくて、とにかく順序」となってしまっていることです。積が交換可能であることを習い、九九もやった後も、小学校高学年になるまでかけ算の順序の指導がなされるとも聞きました。

「文章題では、左の数の単位と答えの単位の数が一致する」などという記述もネット上で見つけました。

もちろんこんな規則はありません。
(1つ当たり)×(いくつ分)=(全体)からの類推でしかありません。
電力=電圧×電流 など反例はいくらでもあります。

ではなぜこのようなことが指導されるかと言えば、文章題で、求める値の単位と同じ単位のものが(1つ分)となっているケースが多いので、それを探して左側に書けば、順序を間違えないということのようです。

 そうすると、「考え方を大切にする」というのはどこかに行ってしまうことになり、本末転倒です。

小学校で、「かけ算の順序」それ自体が異様に肥大化した奇妙な教え方がなされているように思えてなりません。

以下、いずれも小学校教員の書いたものです。

http://www.urban.ne.jp/home/awamura5/tigai23.htm
http://anothertrack.hp.infoseek.co.jp/others/0028.htm
http://anothertrack.hp.infoseek.co.jp/others/0029.htm
http://www.eonet.ne.jp/~mnzbo645/kakekakerare.htm

 私はこのような指導を繰り返された生徒が、「算数・数学とは決められた手順に従って手を動かすこと」と思い込まないかと不安です。

 現に高校生を教えていて、「この問題は、Cで解くの?それともP?組み合わせを求めるのだから、やっぱりC?」などと質問されてがっかりすることがあります。

 「どっちでもいいし、わからなかったら樹形図に戻ればいいんだよ」と言うのですが、理系の生徒含めて、問題ごとの解法パターンや公式を覚え込むのが数学と思い込んでいる生徒が多いのが現状です。

順序の指導が有用な場面はあるかと思います。特にかけ算を習い初めの直後など。しかし、小学校の現場では、教員自身が何のために順序を指導するのかわからないまま、過剰にそこが強調されているような気がしてなりません。

また長々と失礼しました。

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積分定数さん、コメントありがとうございます。

参考資料のページで共通しているように思えたのは、
「掛け算を使うことが前提で話が進んでいる」
ということです。
上の文章題の掛け算の順番の指導では、他の演算が混じってしまったときに使えませんね。

あくまでも、順番を気にするのは、
「掛け算という演算を理解するため」
にして欲しいと思います。

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